นับ DOF ของทั้งกลไก (สูตร Grübler–Kutzbach)

รู้ล่วงหน้าว่ากลไกจะขยับได้กี่ทาง ต้องใช้มอเตอร์กี่ตัว หรือจะกลายเป็นโครงที่ขยับไม่ได้ ด้วยการนับชิ้นและข้อต่อ

สรุปใน 30 วินาที

Mobility (M) = DOF ของทั้งกลไก = จำนวน input (เช่น มอเตอร์) ที่ต้องใช้เพื่อบังคับให้กลไกอยู่ในท่าที่แน่นอน
กลไกในระนาบ: M = 3(n − 1) − 2j₁ − j₂ โดย n นับรวม ground ด้วย
M = 1 → กลไกทั่วไป (มอเตอร์ 1 ตัว), M = 0 → โครงสร้างแข็ง, M < 0 → โครงที่มีแรงค้างภายใน

ทำไมต้องรู้เรื่องนี้

ก่อนออกแบบหรือขึ้นรูปชิ้นงาน ควรรู้ก่อนว่ากลไก ขยับได้จริงไหม และ ต้องใช้ตัวขับกี่ตัว สูตรนี้ใช้แค่การนับ ไม่ต้องรู้ขนาดชิ้นส่วน จึงใช้ตรวจไอเดียได้ตั้งแต่ตอนร่างบนกระดาษ

สูตรสำหรับกลไกในระนาบ (Grübler)

ทุกชิ้นที่ลอยอิสระในระนาบมี 3 DOF แต่ละข้อต่อจะหักออกตามจำนวนทางที่มันล็อก

text

M = 3(n − 1) − 2·j₁ − 1·j₂

n  = จำนวนชิ้น (link) รวมชิ้นที่อยู่กับที่ (ground) ด้วย
j₁ = full joint: ปล่อย 1 DOF → Revolute (R), Prismatic (P)
j₂ = half joint: ปล่อย 2 DOF → ลูกเบี้ยว-ตัวตาม, ฟันเฟือง, pin-in-slot, ล้อที่ทั้งกลิ้งและไถล

1
นับชิ้น n — นับทุกชิ้นแข็ง รวม ground หรือโครงเครื่องเป็น 1 ชิ้นเสมอ
2
นับ full joint j₁ — R และ P แต่ละตัวนับ 1 ถ้าสลักตัวเดียวต่อ 3 ชิ้นพร้อมกัน ให้นับเป็น 2 ข้อต่อ (ต่อ k ชิ้น = k − 1 ข้อต่อ)
3
นับ half joint j₂ — จุดสัมผัสแบบ Higher pair ที่ทั้งกลิ้งและไถลได้
4
แทนค่าในสูตร — แล้วตีความผล M ตามตารางด้านล่าง

ตัวอย่าง 1: Four-bar linkage

กลไกพื้นฐานที่สุดของวิชานี้ ประกอบด้วย ground, ก้านหมุน (crank), ก้านต่อ (coupler) และก้านโยก (rocker) ต่อกันด้วย Revolute 4 ตัว

Four-bar linkage (crank-rocker)

กำลังโหลดภาพ 3D…

ลากเพื่อหมุนดู · scroll เพื่อซูม

ก้านสั้นสีหลัก (crank) หมุนครบรอบ ส่วนก้านสีม่วง (rocker) ได้แค่แกว่งไปมา เส้นโค้งคือเส้นทางของจุดบนก้านต่อ (coupler curve) ซึ่งเป็นรูปทรงที่สร้างจากวงกลมล้วนๆ ไม่ได้ นี่คือเหตุผลที่ four-bar ถูกใช้สร้างการเคลื่อนที่พิเศษ เช่น ที่ปัดน้ำฝน

text

n = 4 (ground, crank, coupler, rocker)
j₁ = 4 (R ทั้ง 4 จุด), j₂ = 0
M = 3(4 − 1) − 2(4) − 0 = 9 − 8 = 1   ✓ มอเตอร์ตัวเดียวคุมได้ทั้งกลไก

ตัวอย่าง 2: Slider-crank (ข้อเหวี่ยง-ลูกสูบ)

Slider-crank

กำลังโหลดภาพ 3D…

ลากเพื่อหมุนดู · scroll เพื่อซูม

ข้อเหวี่ยงหมุนครบรอบ ก้านสูบดันลูกสูบให้วิ่งไปกลับในราง นี่คือหัวใจของเครื่องยนต์ลูกสูบและปั๊มลม ระยะชักของลูกสูบเท่ากับ 2 × ความยาวข้อเหวี่ยง

text

n = 4 (ground, crank, ก้านสูบ, ลูกสูบ)
j₁ = 4 (R 3 ตัว + P 1 ตัว), j₂ = 0
M = 3(3) − 2(4) = 1   ✓

ตัวอย่างที่ต้องระวัง

🔺 สามเหลี่ยม (n = 3, j₁ = 3)

M = 3(2) − 6 = 0 → โครงสร้างแข็ง ขยับไม่ได้ นี่คือเหตุผลที่โครงหลังคาและสะพานใช้รูปสามเหลี่ยม

⬠ Five-bar (n = 5, j₁ = 5)

M = 3(4) − 10 = 2 → ต้องมีตัวขับ 2 ตัว เช่น หุ่นยนต์วาดภาพแบบ 2 แขน (parallel SCARA)

🥚 ลูกเบี้ยว + ตัวตาม (n = 3, j₁ = 2, j₂ = 1)

M = 3(2) − 4 − 1 = 1 → ลูกเบี้ยวหมุนตัวเดียวก็บังคับตัวตามได้

สูตรไม่ได้ถูกเสมอ

สูตรนับแค่จำนวนชิ้นและข้อต่อ ไม่ได้ดูขนาดหรือรูปทรง จึงพลาดได้ในกลไกที่มีเรขาคณิตพิเศษ เช่น สี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีก้านเสริมขนานอีกเส้น สูตรให้ M = 0 แต่ของจริงยังขยับได้ เพราะก้านเสริมเป็น redundant constraint (ล็อกซ้ำกับที่ล็อกไว้แล้ว) เมื่อผลจากสูตรดูแปลก ให้ตรวจด้วย CAD หรือการจำลองเสมอ

สูตรสำหรับกลไก 3 มิติ (Kutzbach)

ใน 3 มิติแต่ละชิ้นมี 6 DOF ข้อต่อที่ปล่อย f DOF จะล็อก 6 − f

text

M = 6(n − 1) − Σ (6 − fᵢ)

ตัวอย่าง: แขนหุ่นยนต์ 6 แกน มี n = 7 (ฐาน + ก้าน 6 ชิ้น) และ Revolute 6 ตัว (f = 1) M = 6(6) − 6 × 5 = 36 − 30 = 6 → ปลายแขนวางตำแหน่งและทิศทางได้ครบ 6 DOF

ทบทวน

ทบทวน 1

กลไกในระนาบมี 6 ชิ้น (รวม ground) ต่อกันด้วย Revolute 7 ตัว M เท่ากับเท่าไร?

ทบทวน 2

สลักตัวเดียวร้อยผ่านก้าน 3 ชิ้นพร้อมกัน ต้องนับเป็น j₁ เท่าไร?

ทบทวน 3

Four-bar ที่มีก้านยาว 2, 7, 4, 4 (s = 2, l = 7) จะมีก้านที่หมุนครบรอบได้หรือไม่?